3 図形
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27 回転体 (解答)
中央大附属高校 (H26年) ★ 中央大杉並高校 (H26年) ★
 図のような,点Oを中心とする2つの半円と直線l で囲まれた斜線部分をl の周りに1回転させたときにできる立体の体積を求めなさい。

 【解】

体積=外の球−内の球

  =   4 π×43  4 π×23 
 3  3
  =  256−32 π=   224 π 
   3    3



 【別解】 大小の球の体積比が,23:13=8:1
         を利用して求めてもよい。
 
 図の台形ABCDを直線l のまわりに1回転してでさる立体の体積を求めなさい。 ただし,円周率はπとします。

 【解】

円すい台の高さをhとすると,
  h2=(2√10)2−22=40−4=36より,
  h=6
体積=(大きい円すい)−(小さい円すい)
  =   1 ×42π×12−  1 ×22×6 
 3  3
  =64π−8π= 56π


 【別解】 大小の円すいの体積比が,23:13=8:1
         を利用して求めてもよい。
 
筑波大附属高校 (H26年) ★  立教新座高校 (H24年) ★
 平面上に1辺の長さが2cmの正三角形ABCと直線l がある。直線l は点Cを通り,BCに垂直である。 このとき,l を軸として△ABCを1回転させたときにできる回転体の体積は[    ] cm3である。

 【解】

体積=(大きい円すい)−(小さい円すい)×2

  =   1 ×22π×2√3−(  1 ×12π×√3)×2 
 3  3

  =   8√3π−2√3π 6√3 π  2√3π (cm3
      3      3


 図のように,BC=1の直角三角形ABCがある。 この直角三角形ABCを,辺ABを軸として1回転させた立体をS,辺BCを軸として1回転させた立体をTとする。 Tの体積がSの体積の3倍のとき,
(1) ABの長さを求めよ。

 【解】

AB=xとすると,
  S=  1 ×12π×x  1 π 
 3  3

  T=  1 ×x2π×1=  1 πx2 
 3  3

T=3Sより,
  1 πx2  1 πx×3で, x=AB= 3
  3  3


(2) 直角三角形ABCを,辺ACを軸として1回転させた立体の体積を求めよ。

 【解】

Bから垂線BHをおろし,BH=hとすると,
 △ABC=   1 ×(√10)h  1 ×1×3より, 
 2  2

 h=   3 .   3 10 
10 10

よって,体積=   1 ×(  3 . )2π×√10 
 3 10

  =  3 10π
10
 
 明治大附属中野高校 (H26年) ★★
 右の図において,直線l を軸に直角三角ABCを
   回転させた立体の表面積を求めなさい。
 3
 ただし,円周率はπとします。

 【解】

上の底面(扇形)=32π×(2/3)=6π

外の側面(長方形)=4×6π×(2/3)=16π

外の側面(直角三角形2個)=(1/2)×3×4×2=12

内の側面(扇形)=(1/2)×6π×(2/3)×5=10π

よって,表面積=6π+16π+12+10π= 32π+12 cm2

  

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